在平面上，如果已知\(\triangle P_0 P_1 P_2\)的三个顶点坐标\(P_0(x_0, y_0),\space P_1(x_1,y_1),\space P_2(x_2,y_2)\)和另一点\(P\)的坐标\((x,y)\)，要判断点P是否在\(\triangle P_0 P_1 P_2\)内。

这里给出两种判断方法，第一种方法是先求出\(\triangle P_0 P_1 P_2\)的外接圆圆心坐标，然后得到三角形的半径，比较半径和圆心到点\(P\)的距离，就能判断点\(P\)和外接圆的位置关系。第二种方法是选择\(\triangle P_0 P_1 P_2\)的一条边作为界线，如边\(P_0P_2\)，然后根据点\(P_1\)和点\(P\)是否在\(P_0P_2\)同侧，比较\(\angle P_0 P_1 P_2\)和\(\angle P_0 P P_2\)的大小，判断点\(P\)和外接圆的位置关系。

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第一种方法

三角形的外心坐标公式为：

\[x = \frac { \begin{vmatrix} x_0^2 +y_0^2 & y_0 & 1\cr x_1^2 +y_1^2 & y_1 & 1\cr x_2^2 +y_2^2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} } {2 \begin{vmatrix} x_0 & y_0 & 1\cr x_1& y_1 & 1\cr x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} } , y = \frac { \begin{vmatrix} x_0& x_0^2 +y_0^2& 1\cr x_1& x_1^2 +y_1^2& 1\cr x_2& x_2^2 +y_2^2& 1\cr \end{vmatrix} } {2 \begin{vmatrix} x_0 & y_0 & 1\cr x_1& y_1 & 1\cr x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} }\]

根据这个外心的坐标公式计算出外接圆的圆心坐标，就能得到圆的半径，从而判断出点\(P\)与外接圆的位置关系。

定义平面点的数据结构：

struct PointTri{    double x;    // x 坐标    double y;    // y 坐标};

求解行列式用到能够计算\(N\)阶行列式的子函数：

// 求 aij 的代数余子式vector< vector
    
      > Cofactor(vector< vector
     
       > vecDet_ij, int i, int j){    int k;    vector< vector
      
        > vecReturn;    vector< vector
       
         >::iterator veck;    // vector
        
         ::iterator vecl;    // 初始化二维容器 vecReturn    k = 0;    for (veck=vecDet_ij.begin(); veck
         
           > vecDet){ int i; double Sum = 0.0; vector< vector
          
            >::iterator vec_Row = vecDet.begin(); vector
           
            ::iterator vec_Column = (*vec_Row).begin(); if (vecDet.size() == 1) { return *vec_Column; } else { i = 0; for (; vec_Column < (*vec_Row).end(); vec_Column++) { Sum = Sum + pow(-1.0, i) * (*vec_Column) * det_Array( Cofactor(vecDet, 0, i++) ); } return Sum; }}
           
          
         
        
       
      
     
    

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主要的判断函数为：

// 判断点 Ｐ 是否在圆内bool InnerOROut(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx){    double Radius_2;  // 半径的平方/*    double Radius_2T1, Radius_2T2;*/    double Cntrx, Cntry; //圆心坐标    // 求圆心和半径    vector< vector
    
      > vecDet1, vecDet2;    vector
     
       A, B, C;    // 计算圆心的 x 坐标    A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);    B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);    C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);    vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);    A.clear(); B.clear(); C.clear();    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);    vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);    Cntrx = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));    // 计算圆心的 y 坐标    vecDet1.clear(); vecDet2.clear();    A.clear(); B.clear(); C.clear();    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(1.0);    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(1.0);    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(1.0);    vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);    A.clear(); B.clear(); C.clear();    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);    vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);    Cntry = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));    // 外接圆的半径的平方    Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);    // 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false    double Rad_V0Cntr;    Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);    if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)    {        return true;    }     else    {        return false;    }}
     
    

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这种采用通用的计算行列式值的方法代码会比较多，针对三阶行列式的求解可以采用固定的公式，展开求解，针对这个特定的求解问题会显得简化一些：

// 判断点 Ｐ 是否在圆内bool InnerOROut1(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx){    double Radius_2;  // 半径的平方    double Cntrx, Cntry; //圆心坐标    // 求圆心和半径    double a1 = (Vrtx1.x - Vrtx0.x), b1 = (Vrtx1.y - Vrtx0.y);    double c1 = (a1*a1 + b1*b1) / 2.0;    double a2 = (Vrtx2.x - Vrtx0.x), b2 = (Vrtx2.y - Vrtx0.y);    double c2 = (a2*a2 + b2*b2) / 2.0;    double d = (a1*b2 - a2*b1);    Cntrx = Vrtx0.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d;    Cntry = Vrtx0.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;    Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);    // 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false    double Rad_V0Cntr;    Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);    if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)    {        return true;    }     else    {        return false;    }}

主函数的调用示例：

void main(){    system("color F1");    // -------------------------------------    PointTri P0, P1, P2, P;    P0.x = 0.0; P0.y = 0.0;    P1.x = 0.0; P1.y = 1.0;    P2.x = 1.0; P2.y = 0.0;    P.x = 0.5; P.y = 0.5;    // if (InnerOROut1(P0, P1, P2, P))    if (InnerOROut(P0, P1, P2, P))    {        cout << "P in the circle" << endl;    }    else    {        cout << "P not in the circle" << endl;    }// -------------------------------------    system("pause");}

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第二种方法

基本思路：

step1 计算\(\angle P_0 P_1 P_2\)和\(\angle P_0 P P_2\)的大小，两个角的大小在[0,\(\pi\)]范围内。

\(\space\space\)step1.1 如果\(\angle P_0 P P_2=0\)，则点\(P\)不在圆内，结束；如果\(\angle P_0 P P_2=\pi\)，则点\(P\)在圆内，结束。

setp2 判断点\(P\)和\(P_1\)是否在\(P_0P_2\)同侧。

\(\space\space\)step2.1 这里通过判断向量积 \(\overrightarrow {P_1P_0} \times \overrightarrow {P_1P_2}\) 与\(\overrightarrow {PP_0} \times \overrightarrow {PP_2}\) 是否同号，如果同号则在同一侧，否则在两侧。

step3 如果点\(P\)和\(P_1\)是在\(P_0P_2\)同一侧，若\(\angle P_0 P_1 P_2 \le \angle P_0 P P_2\)，则点\(P\)在圆内，否则在圆外，结束；如果点\(P\)和\(P_1\)是在\(P_0P_2\)不在侧，若\(\angle P_0 P_1 P_2 + \angle P_0 P P_2 \ge \pi\)，则点\(P\)在圆内，否则在圆外，结束。

// 若果点 Vrtx 在外接圆内或在圆上返回 true, 否则返回 falsebool InnerOROut2(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx){    double PI = 3.14159265358979323846;    // 选择 P0P1 作为边, 相关的向量定义    PointTri P2P0, P2P1, PP0, PP1;    P2P0.x = Vrtx0.x - Vrtx2.x;    P2P0.y = Vrtx0.y - Vrtx2.y;    P2P1.x = Vrtx1.x - Vrtx2.x;    P2P1.y = Vrtx1.y - Vrtx2.y;    PP0.x = Vrtx0.x - Vrtx.x;    PP0.y = Vrtx0.y - Vrtx.y;    PP1.x = Vrtx1.x - Vrtx.x;    PP1.y = Vrtx1.y - Vrtx.y;    // 计算角 P0P2P1,    double angle_P0P2P1;    if (P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y < 0.000001 || P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y < 0.000001)    {        return false;    }     else    {        angle_P0P2P1 = acos((P2P0.x * P2P1.x + P2P0.y * P2P1.y) /             (sqrt(P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y) * sqrt(P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y)));    }    // 计算角 P0PP1,    double angle_P0PP1;    if (PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y < 0.000001 || PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y < 0.000001)    {        // 点 P 与点 P0,P1中的一点重合        return true;    }     else    {        angle_P0PP1 = acos((PP0.x*PP1.x + PP0.y*PP1.y) /             (sqrt(PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y) * sqrt(PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y)));    }    if (angle_P0PP1 < 0.000001)    {        // 点 P 在线段 P0P1 外，但三点共线        return false;    }    if ((PI/2.0 - angle_P0PP1) < 0.000001)    {        // 点 P 在线段 P0P1 内，三点共线        return true;    }    // 判断点 P2 和 P 在否在直线 P0P1 的同一侧    // 通过向量积来判断，PP0 X PP1, P2P0 X P2P1    double product_P2 = P2P0.x * P2P1.y - P2P1.x * P2P0.y;    double product_P = PP0.x * PP1.y - PP1.x * PP0.y;    if (product_P2 * product_P > 0) // 点 P,P2同侧    {        if (angle_P0P2P1 <= angle_P0PP1)        {            // 在同侧时，角P0P2P1 <= 角P0PP1，点 P 在圆内或圆上            return true;        }         else        {            return false;        }            }    else    {        // 不在同侧时        if (angle_P0PP1+angle_P0P2P1 - PI/2.0 >= 0.0)        {            return true;        }        else        {            return false;        }    }}